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1. 古典概型中条件概率的计算

根据条件概率的计算公式$P(B|A)=P(A\cap B)/P(A)$，在古典概型下，我们定义如下的Python函数：

def condP(A, B):                #事件B发生的条件下A的概率    return len(A & B) / len(B)

程序中定义的函数condP(A,B)只适合于计算古典概型中的条件概率$P(A|B)$。代码很简单，为求条件概率$P(A|B)$，按计算公式需要计算$P(A\cap B)/P(A)$，在古典概型下，无论是$P(A\cap B)$还是$P(A)$，都是用事件所含样本点数$|A\cap B|$和$|A|$除以样本空间的样本点数$|S|$，即$P(A|B)=P(A\cap B)/P(A)=\frac{|A\cap B|/|S|}{|A|/|S|}=\frac{|A\cap B|}{|A|}$。函数condP，就是按此结论，返回len(A&B)/ len(A)。

例1 一盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只二等品。从中无放回地抽取产品两次，每次任取一只。设事件$A$为“第一次取到的是一等品”，事件$B$为“第二次取到的是一等品”。求条件概率$P(B|A)$。 解： 由抽取的任意性知，这个试验是一个古典概型。所谓无放回抽样，指的是第1次抽取1球，观察后不放回袋中，然后从袋中抽取第2次。第一次抽取时在4件产品中任取一件，故有4种取法。第2次抽取是在剩下的3件产品中任取一件，有3种取法。因此，样本空间含样本点数$|S|=4\cdot 3=12$。对事件$A$：“第一次取到的是一等品”而言，第一次取得的一等品应是原有的3件一等品之一，故有3种取法；第二次是在余下的3件中任取一件，也有3种取法。故$|A|=3^2=9$，$P(A)=9/12=3/4$。事件$A\cap B$：，“第一次和第二次都取到一等品”。这意味着第一次是在3件一等品中任取一件，第二次是在剩下的2件一等品中任取一件，故$|A\cap B|=3\cdot 2=6$，$P(A\cap B)=6/12=1/2$。于是 $$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{1/2}{3/4}=2/3.$$ 设1，2，3表示一等品，4表示二等品。其样本空间就是由1, 2, 3, 4中任意抽取2个的排列构成。设$(i,j)$为任一样本点（$1\le i\ne j\le 4$），事件$A$：第一次抽到一等品中的样本点应满足条件$i\le 3$，$B$：第二次抽到一等品中的样本点应满足$j\le 3$。 将试验的样本空间及样本空间中样本点结构的约定以及事件A和B应满足的条件反映成如下的Python代码：

from sympy.utilities.iterables import variations as permutations#导入permutationsS=set(permutations(range(1,5),2))   							#1，2，3为一等品，4为二等品A = setEvent(S, lambda a: a[0] <= 3)							#设置事件A：“第1次取得一等品”B = setEvent(S, lambda a: a[1] <= 3)							#设置事件B：“第2次取得一等品”p = condP(B, A)print('P(B|A)=%s' % p)

程序的第2行调用permutations函数（第1行导入）设置本试验的样本空间S。第3、4行调用函数setEvent（），设置事件A：“第一次取得一等品”和B：“第2次取得一等品”。第9行调用前面定义的函数condP，计算条件概率P(B|A)。运行程序，输出

P(B|A)=2/3

即为本例的解。

2. 乘法公式

例2 已知在10件产品中有2件次品，从中取两次，每次任取一件，作不放回抽样。计算下列事件的概率。

1. 两件都是正品；
2. 两件都是次品；
3. 一件是正品，一件是次品；
4. 第二次取出的是次品。

解： 按不放回抽取方式，从10件产品中（包括2件次品）抽取两次，每次任取一件是一个古典概型。故用Python计算其中随机事件的概率需先考虑样本空间$S$及其样本点的结构。我们用$1,2,\cdots ,8$表示8个正品，9和10表示2个次品。无放回两次抽取产品的样本点可用二元组$(i,j)$表示。其中，$1\le i\ne j\le 10$。样本空间$S$就是由所有这样的二元组构成。设事件$A_1$表示“第一次取到正品”，$A_2$表示“第二次取到正品”。则$A_1$中样本点$(i,j)$满足条件$i\le 8$，$A_2$中样本点$(i,j)$满足条件$j\le 8$。下列程序计算概率$P(A_1\cap A_2)$，$P({\overline{A}}_1\cap {\overline{A}}_2)$，$P(A1\cap {\overline{A}}_2\cup {\overline{A}}_1\cap A_2)=1-P(A_1\cap A_2)-P({\overline{A}}_1\cap {\overline{A}}_2)$和$P(A_2)$。

from sympy.utilities.iterables import variations as permutations#导入permutationsS=set(permutations(range(1,11),2))      						#1~8为一等品，9，10为二等品A1=setEvent(S, lambda a: a[0]<=8)       						#事件A1A2=setEvent(S, lambda a: a[1]<=8)       						#事件A2A1_=S-A1                                						#A1的对立事件Ā1A2_=S-A2                                						#A2的对立事件Ā2p1=P(A1, S)*condP(A2, A1)               						#P(A1*A2)p2=P(A1_, S)*condP(A2_, A1_)            						#P(Ā1*Ā2)p3=1-p1-p2                              						#P(A1*Ā2)+P(Ā1*A2)p4=P(A2_, S)                            						#P(Ā2)print('P(A1*A2)=%s'%p1)print('P(A1_*A2_)=%s'%p2)print('P(A1*A2_)+P(A1_*A2)=%s'%p3)print('P(A2_)=%s'%p4)

程序的第2行完成对样本空间的设置：$\{$

1,2⋯,10}中任取2个元素的排列。第3~6行设置事件$A_1$，$A_2$，${\overline{A}}_1$和${\overline{A}}_2$。第7~10行分别计算概率$P(A_1\cap A_2)$，$P({\overline{A}}_1\cap {\overline{A}}_2)$，$P(A1\cap {\overline{A}}_2\cup {\overline{A}}_1\cap A_2)=1-P(A_1\cap A_2)-P({\overline{A}}_1\cap {\overline{A}}_2)$和$P(A_2)$。第11~14行输出计算所得概率的值。运行程序，输出：

P(A1*A2)=28/45P(A1_*A2_)=1/45P(A1*A2_+A1_*A2)=16/45P(A2_)=1/5

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